Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế. Bước 1: Từ một phương trình, ta rút 1 ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai và rút gọn để được một phương trình mới còn 1 ẩn. Bước 2: Giải phương trình mới rồi thế vào 1 phương trình ban đầu đầu để giải Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu nhanh nhất và bài tập ứng dụng. Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu một cách nhanh chóng, chính xác không phải học sinh nào cũng dễ dàng nắm bắt. Mặc dù đây là phần kiến thức Đại số 8 vô cùng quan trọng. Thư viện tài liệu học tập, tham khảo online lớn nhất Trang chủ https //tailieu com/ | Email info@tailieu com | https //www facebook com/KhoDeThiTaiLieuCom BÀI 2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN VÀ CÁCH GI[.] nghĩa phương trình bậc ẩn Phương trình có dạng ax + Chọn lệnh giải phương trình bậc hai 2 ẩn, màn hình hiển thị. B2: Khai báo các hệ số của phương trình, các hệ số cách nhau bằng dấu = B3: nhấn = để xem kết quả. Xảy ra 4 trường hợp: Phương trình có 1 nghiệm (x) Phương trình có 2 nghiệm (x và y) Phương trình vô nghiệm (Vô Giải hệ phương trình bằng phương thức cộng đại số. Để giải hệ phương trình bằng phương thức cộng đại số, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân nhì vế của từng phương trình với một vài thích hòa hợp nếu cần làm sao cho các hệ số của một ẩn nào kia trong Ví dụ: Giải hệ phương trình sau: Bước 1: Nhấn phím ON khởi động máy. Bước 2: Nhấn tổ hợp phím MODE + 5 + 2, màn hình xuất hiện giao diện hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn tương ứng. Bước 3: Điền lần lượt các hệ số bằng cách nhấn tổ hợp phím hệ số + dấu bằng Giai bai toán bằng cách lập Phương Trình Tìm canh cua hình vuông biết rằng nếu mỗi cạnh giảm ₫i 5m thì diện tích chỉ b HOC24 Lớp học ZLTxF. Bài viết hướng dẫn cách giải phương trình vô tỉ phương trình có chứa dấu căn thức bằng phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình, đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Đại số PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Đặt $u = tx$, ta được một hệ theo biến $u$ và biến $x.$ Hoặc $u = tx$, $v = kx$ ta được hệ mới theo biến $u$ và biến $v.$ Thông thường cả hai cách đặt đều dẫn đến hệ phương trình đối xứng loại $2$.B. VÍ DỤ MINH HOẠ Ví dụ 1. Giải phương trình ${x^2} + \sqrt {1 + x} = 1.$Lời giải Điều kiện $ – 1 \le x \le 1.$ Đặt $u = \sqrt {x + 1} .$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} = 1 – u}\\ {{u^2} = 1 + x} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} = 1 – u}\\ {{x^2} – {u^2} = – x + u} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} = 1 – u}\\ {x + ux – u + 1 = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} = 1 – u}\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x + u = 0}\\ {x – u + 1 = 0} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x + u = 0}\\ {{x^2} = 1 – u} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x – u + 1 = 0}\\ {{x^2} = 1 – u} \end{array}} \right.} \end{array}} \right..$ + Với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x + u = 0}\\ {{x^2} = 1 – u} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = – u}\\ {{x^2} – x – 1 = 0} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \frac{{1 – \sqrt 5 }}{2}}\\ {x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow x = \frac{{1 – \sqrt 5 }}{2}$ do $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}>1$. + Với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x – u + 1 = 0}\\ {{x^2} = 1 – u} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = x + 1}\\ {{x^2} + x = 0} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0}\\ {x = – 1} \end{array}} \right..$ Kết luận phương trình có ba nghiệm là $x = – 1$, $x = 0$, $x = \frac{{1 – \sqrt 5 }}{2}.$Ví dụ 2. Giải phương trình ${x^3} + 1 = 2\sqrt[3]{{2x – 1}}.$Lời giải Đặt $y = \sqrt[3]{{2x – 1}}$ $ \Leftrightarrow {y^3} = 2x – 1$ $ \Leftrightarrow {y^3} + 1 = 2x.$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^3} + 1 = 2y\\1}\\ {{y^3} + 1 = 2x\\2} \end{array}} \right..$ Lấy phương trình $1$ trừ phương trình $2$ vế theo vế ta được phương trình ${x^3} – {y^3} = 2y – x.$ $ \Leftrightarrow x – y\left {{x^2} + xy + {y^2} + 2} \right = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = y}\\ {{x^2} + xy + {y^2} + 2 = 0\\3} \end{array}} \right..$ Ta có ${x^2} + xy + {y^2} + 2$ $ = {\left {x + \frac{1}{2}y} \right^2} + \frac{3}{4}{y^2} + 2 > 0$, $\forall x$, $y$ nên phương trình $3$ vô nghiệm. Thay $y = x$ vào phương trình ${x^3} + 1 = 2y$ ta được phương trình ${x^3} + 1 = 2x$ $ \Leftrightarrow {x^3} – 2x + 1 = 0.$ $ \Leftrightarrow x – 1\left {{x^2} + x – 1} \right = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 1}\\ {x = \frac{{ – 1 \pm \sqrt 5 }}{2}} \end{array}} \right..$ Kết luận nghiệm của phương trình là $x = 1$, $x = \frac{{ – 1 \pm \sqrt 5 }}{2}.$Ví dụ 3. Giải phương trình $\sqrt[3]{{x – 9}} = {x – 3^3} + 6.$Lời giải Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = \sqrt[3]{{x – 9}}}\\ {v = x – 3} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow {u^3} + 6 = v.$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = {v^3} + 6}\\ {v = {u^3} + 6} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = {v^3} + 6}\\ {u – v = {v^3} – {u^3}} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = {v^3} + 6}\\ {u – v\left {{u^2} + {v^2} + uv + 1} \right = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = {v^3} + 6}\\ {u = v} \end{array}} \right.$ do ${u^2} + {v^2} + uv + 1$ $ = {\left {u + \frac{v}{2}} \right^2} + \frac{3}{4}{v^2} + 1 > 0$, $\forall u$, $v$. $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = v}\\ {{u^3} – u + 6 = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = v}\\ {u + 2\left {{u^2} – 2u + 3} \right = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = – 2}\\ {v = – 2} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow x = 1.$ Kết luận nghiệm của phương trình là $x =1.$ Ví dụ 4. Giải phương trình $\sqrt[3]{{24 + x}} + \sqrt {12 – x} = 6.$Lời giải Điều kiện $x \le 12.$ Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = \sqrt[3]{{24 + x}}}\\ {v = \sqrt {12 – x} \ge 0} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^3} = 24 + x}\\ {{v^2} = 12 – x} \end{array}} \right..$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 6}\\ {{u^3} + {v^2} = 36} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {v = 6 – u}\\ {{u^3} + {{6 – u}^2} = 36} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {v = 6 – u}\\ {{u^3} + {u^2} – 12u = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {v = 6 – u}\\ {uu – 3u + 4 = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {v = 6 – u}\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 0}\\ {u = 3}\\ {u = – 4} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.$ $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 0}\\ {v = 6} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 3}\\ {v = 3} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = – 4}\\ {v = 10} \end{array}} \right.} \end{array}} \right..$ + Với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 0}\\ {v = 6} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {24 + x = 0}\\ {12 – x = 36} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x = – 24.$ + Với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 3}\\ {v = 3} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {24 + x = 27}\\ {12 – x = 9} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x = 3.$ + Với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = – 4}\\ {v = 10} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {24 + x = – 64}\\ {12 – x = 100} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x = – 88.$ Kết luận nghiệm của phương trình là $x = – 88$, $x = – 24$, $x = 3.$Ví dụ 5. Giải phương trình $\sqrt[3]{{x + 34}} – \sqrt[3]{{x – 3}} = 1.$Lời giải Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {a = \sqrt[3]{{x + 34}}}\\ {b = \sqrt[3]{{x – 3}}} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{a^3} = x + 34}\\ {{b^3} = x – 3} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow {a^3} – {b^3} = 37.$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {a – b = 1}\\ {{a^3} – {b^3} = 37} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {a = 1 + b}\\ {{{1 + b}^3} – {b^3} = 37} \end{array}.} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {a = 1 + b}\\ {1 + 3b + 3{b^2} + {b^3} – {b^3} = 37} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {b = 3}\\ {a = 4} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {b = – 4}\\ {a = – 3} \end{array}} \right.} \end{array}} \right..$ + Với $b = 3$, ta được ${b^3} = x – 3$ $ \Leftrightarrow {3^3} = x – 3$ $ \Leftrightarrow x = 30.$ + Với $b =–4$, ta được ${b^3} = x – 3$ $ \Leftrightarrow { – 4^3} = x – 3$ $ \Leftrightarrow x = – 61.$ Kết luận phương trình có nghiệm là $x = 30$, $x=-61.$ Ví dụ 6. Giải phương trình $\sqrt {x – 1} + x – 3$ $ = \sqrt {2{{x – 3}^2} + 2x – 1} .$Lời giải Điều kiện $x \ge 1.$ Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = \sqrt {x – 1} ,u \ge 0}\\ {v = x – 3} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = {u^2} + 1}\\ {x = v + 3} \end{array}} \right..$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u \ge 0}\\ {u + v = \sqrt {2{u^2} + 2{v^2}} }\\ {{u^2} + 1 = v + 3} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u \ge 0}\\ {u + v \ge 0}\\ {u = v}\\ {{u^2} – u – 2 = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 2}\\ {v = 2} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow x = 5.$ So sánh với điều kiện, ta được nghiệm của phương trình là $x=5.$Ví dụ 7. Giải phương trình $\sqrt[4]{{56 – x}} + \sqrt[4]{{x + 41}} = 5.$Lời giải Điều kiện $ – 41 \le x \le 56.$ Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = \sqrt[4]{{56 – x}} \ge 0}\\ {v = \sqrt[4]{{x + 41}} \ge 0} \end{array}} \right..$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 5}\\ {{u^4} + {v^4} = 97} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 5}\\ {{{\left {{u^2} + {v^2}} \right}^2} – 2{u^2}{v^2} = 97} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 5}\\ {{u^2}{v^2} – 50uv + 264 = 0} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 5}\\ {uv = 6} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 5}\\ {uv = 44} \end{array}\\{\rm{vô\nghiệm}}} \right.} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 5}\\ {uv = 6} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 2}\\ {v = 3} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 3}\\ {v = 2} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sqrt[4]{{56 – x}} = 2}\\ {\sqrt[4]{{x + 41}} = 3} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sqrt[4]{{56 – x}} = 3}\\ {\sqrt[4]{{x + 41}} = 2} \end{array}} \right.} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {56 – x = 16}\\ {x + 41 = 81} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {56 – x = 81}\\ {x + 41 = 16} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 40}\\ {x = – 25} \end{array}} \right..$ So sánh với điều kiện, ta được nghiệm của phương trình là $x=40$, $x=-25.$ Ví dụ 8. Giải phương trình $\sqrt[3]{{{{2 – x}^2}}} + \sqrt[3]{{{{7 + x}^2}}}$ $ – \sqrt[3]{{2 – x7 + x}} = 3.$Lời giải Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = \sqrt[3]{{2 – x}}}\\ {v = \sqrt[3]{{7 + x}}} \end{array}} \right..$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^2} + {v^2} – uv = 3}\\ {{u^3} + {v^3} = 9} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^2} + {v^2} – uv = 3}\\ {u + v\left {{u^2} + {v^2} – uv} \right = 9} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 3}\\ {{{u + v}^2} – 3uv = 3} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 3}\\ {uv = 2} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 2}\\ {v = 1} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 1}\\ {v = 2} \end{array}} \right.} \end{array}} \right..$ + Với $u = 2$ $ \Rightarrow \sqrt[3]{{2 – x}} = 2$ $ \Leftrightarrow x = – 6.$ + Với $u = 1$ $ \Rightarrow \sqrt[3]{{2 – x}} = 1$ $ \Leftrightarrow x = 1.$Ví dụ 9. Giải phương trình $\sqrt {4x + 1} – \sqrt {3x – 2} $ $ = \frac{{x + 3}}{5}.$Lời giải Điều kiện $x \ge \frac{2}{3}.$ Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = \sqrt {4x + 1} }\\ {v = \sqrt {3x – 2} } \end{array}} \right..$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^2} – {v^2} = x + 3}\\ {u – v = \frac{{x + 3}}{5}} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u – v = \frac{{x + 3}}{5}}\\ {u + v = 5} \end{array}} \right..$ Suy ra $2u = \frac{{25 + x + 3}}{5}$ $ \Leftrightarrow u = \frac{{28 + x}}{{10}}.$ Suy ra $\sqrt {4x + 1} = \frac{{28 + x}}{{10}}$ $ \Leftrightarrow 4x + 1 = {\left {\frac{{28 + x}}{{10}}} \right^2}$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 2}\\ {x = 342} \end{array}} \right..$ Thử lại ta được nghiệm của phương trình là $x = 2.$Ví dụ 10. Giải phương trình $1 + \frac{2}{3}\sqrt {x – {x^2}} = \sqrt x + \sqrt {1 – x} .$Lời giải Điều kiện $0 \le x \le 1.$ Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = \sqrt x }\\ {v = \sqrt {1 – x} } \end{array}} \right..$ Điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u \ge 0}\\ {v \ge 0} \end{array}} \right..$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {1 + \frac{2}{3}uv = u + v}\\ {{u^2} + {v^2} = 1} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {3 + 2uv = 3u + v}\\ {{{u + v}^2} – 2uv = 1} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2uv = 3u + v – 3}\\ {{{u + v}^2} + 3 = 3u + v + 1} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 1}\\ {uv = 0} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 2}\\ {uv = \frac{3}{2}} \end{array}\\{\rm{vô\nghiệm}}} \right.} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 1}\\ {uv = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 1}\\ {v = 0} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 0}\\ {v = 1} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 1}\\ {x = 0} \end{array}} \right..$ Kết luận phương trình đã cho có hai nghiệm là $x= 0$, $x=1.$ Ví dụ 11. Giải phương trình ${x^2} – 2x = 2\sqrt {2x – 1} .$Lời giải Điều kiện $x \ge \frac{1}{2}.$ Phương trình đã cho tương đương ${x – 1^2} – 1 = 2\sqrt {2x – 1} .$ Đặt $y – 1 = \sqrt {2x – 1} .$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} – 2x = 2y – 1}\\ {{y^2} – 2y = 2x – 1} \end{array}} \right..$ Lấy phương trình trên trừ phương trình dưới ta được phương trình $x – yx + y = 0.$ + Với $x = y$ $ \Rightarrow x – 1 = \sqrt {2x – 1} $ $ \Rightarrow x = 2 + \sqrt 2 .$ + Với $x = – y$ $ \Rightarrow – x – 1 = \sqrt {2x – 1} $ vô nghiệm. Kết luận phương trình đã cho có một nghiệm là $x = 2 + \sqrt 2 .$Ví dụ 12. Giải phương trình $2{x^2} – 6x – 1 = \sqrt {4x + 5} .$Lời giải Điều kiện $x \ge – \frac{5}{4}.$ Phương trình đã cho tương đương ${2x – 3^2} – 11 = 2\sqrt {4x + 5} .$ Đặt $2y – 3 = \sqrt {4x + 5} .$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{2x – 3}^2} = 4y + 5}\\ {{{2y – 3}^2} = 4x + 5} \end{array}} \right..$ Lấy phương trình trên trừ phương trình dưới ta được phương trình $x – yx + y – 2 = 0.$ + Với $x = y$ $ \Rightarrow 2x – 3 = \sqrt {4x + 5} $ $ \Rightarrow x = 2 + \sqrt 3 .$ + Với $x + y – 2 = 0$ $ \Rightarrow y = 2 – x$ $ \Rightarrow x = 1 – \sqrt 2 .$ Kết luận phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = 1 – \sqrt 2 $, $x = 2 + \sqrt 3 .$Ví dụ 13. Giải phương trình $3{x^2} + x – \frac{{29}}{6}$ $ = \sqrt {\frac{{12x + 61}}{{36}}} .$Lời giải Điều kiện $x \ge – \frac{{61}}{{12}}.$ Đặt $\sqrt {\frac{{12x + 61}}{{36}}} = y + \frac{1}{6}$, $y \ge – \frac{1}{6}$ $ \Rightarrow \frac{{12x + 61}}{{36}} = {y^2} + \frac{1}{3}y + \frac{1}{{36}}.$ $ \Leftrightarrow 12x + 61 = 36{y^2} + 12y + 1$ $ \Leftrightarrow 3{y^2} + y = x + 5$ $1.$ Mặt khác từ phương trình đã cho ta có $3{x^2} + x – \frac{{29}}{6} = y + \frac{1}{6}$ $ \Leftrightarrow 3{x^2} + x = y + 5$ $2.$ Từ $1$ và $2$ ta có hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {3{x^2} + x = y + 5}\\ {3{y^2} + y = x + 5} \end{array}} \right..$ Lấy phương trình trên trừ phương trình dưới ta được phương trình $x – y3x + 3y + 2 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = y}\\ {y = – \frac{{3x + 2}}{3}} \end{array}} \right..$ + Với $x = y$ $ \Rightarrow 3{x^2} = 5$ $ \Rightarrow x = \sqrt {\frac{5}{3}} .$ + Với $y = – \frac{{3x + 2}}{3}$ $ \Rightarrow 3{x^2} + x = – \frac{{3x + 2}}{3} + 5$ $ \Leftrightarrow 9{x^2} + 6x – 13 = 0.$ $ \Rightarrow x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt {126} }}{9}.$ Kết luận nghiệm của phương trình là $x = \sqrt {\frac{5}{3}} $, $x = \frac{{ – 1 – \sqrt {14} }}{3}.$Ví dụ 14. Giải phương trình ${x^3} + 3{x^2} – 3\sqrt[3]{{3x + 5}}$ $ = 1 – 3x.$Lời giải Phương trình đã cho tương đương ${x + 1^3} = 3\sqrt[3]{{3x + 5}} + 2.$ Đặt $\sqrt[3]{{3x + 5}} = y + 1$ $ \Rightarrow 3x + 5 = {y + 1^3}.$ Khi đó phương trình đã cho trở thành ${x + 1^3} = 3y + 5.$ Từ đó ta có hệ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{x + 1}^3} = 3y + 5}\\ {{{y + 1}^3} = 3x + 5} \end{array}} \right..$ Lấy phương trình trên trừ phương trình dưới ta được phương trình ${x + 1^3} – {y + 1^3}$ $ = – 3x – y.$ $ \Leftrightarrow x – y\left[ {{{x + 1}^2} + x + 1y + 1 + {{y + 1}^2} + 3} \right] = 0.$ $ \Leftrightarrow x = y$ Vì ${x + 1^2} + x + 1y + 1$ $ + {y + 1^2} + 3 > 0$. Với $x = y$ $ \Rightarrow {x + 1^3} = 3x + 5$ $ \Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} – 4 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 1}\\ {x = – 2} \end{array}} \right..$ Kết luận phương trình có hai nghiệm là $x=1$, $x= -2.$ Ví dụ 15. Giải phương trình $\sqrt[3]{{2x + 3}} + 1 = {x^3} + 3{x^2} + 2x.$Lời giải Phương trình đã cho tương đương $\sqrt[3]{{2x + 3}} = {x + 1^3} – x – 2.$ Đặt $y + 1 = \sqrt[3]{{2x + 3}}$ $ \Rightarrow {y + 1^3} = 2x + 3.$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{x + 1}^3} = x + y + 3}\\ {{{y + 1}^3} = 2x + 3} \end{array}} \right..$ Lấy phương trình trên trừ phương trình dưới ta được phương trình ${x + 1^3} – {y + 1^3} = y – x.$ $ \Leftrightarrow x – y\left[ {{{x + 1}^2} + x + 1y + 1 + {{y + 1}^2} + 1} \right] = 0.$ $ \Leftrightarrow x = y$ do ${x + 1^2} + x + 1y + 1$ $ + {y + 1^2} + 1 > 0$. Với $x = y$ $ \Rightarrow {x + 1^3} = 2x + 3$ $ \Leftrightarrow x + 2\left {{x^2} + x – 1} \right = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = – 2}\\ {x = \frac{{ – 1 \pm \sqrt 5 }}{2}} \end{array}} \right..$ Kết luận phương trình có ba nghiệm là $x = – 2$, $x = \frac{{ – 1 \pm \sqrt 5 }}{2}.$Lưu ý + Từ các ví dụ 11, 12, 13, 14 và 15, các bạn hãy tự rút ra quy tắc về cách đặt ẩn phụ trong các ví dụ này. Nguyên tắc là đặt để sau đó có được hệ đối xứng, vậy quy tắc ở đây là gì? + Các bài toán dạng này còn có thể giải được bằng phương pháp hàm dụ 16. Giải phương trình $x + \sqrt {5 + \sqrt {x – 1} } = 6.$Lời giải Điều kiện $x \ge 1.$ Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {a = \sqrt {x – 1} \ge 0}\\ {b = \sqrt {5 + \sqrt {x – 1} } \ge 0} \end{array}} \right..$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{a^2} + b = 5}\\ {{b^2} – a = 5} \end{array}} \right..$ Lấy phương trình trên trừ phương trình dưới ta được phương trình $a + ba – b + 1 = 0$ $ \Rightarrow a – b + 1 = 0$ $ \Rightarrow a + 1 = b.$ Suy ra $\sqrt {x – 1} + 1 = \sqrt {5 + \sqrt {x – 1} } $ $ \Leftrightarrow \sqrt {x – 1} = 5 – x$ $ \Rightarrow x = \frac{{11 – \sqrt {17} }}{2}.$ Kết luận phương trình đã cho có một nghiệm là $x = \frac{{11 – \sqrt {17} }}{2}.$Ví dụ 17. Giải phương trình $4x = \sqrt {30 + \frac{1}{4}\sqrt {30 + \frac{1}{4}\sqrt {30 + \frac{1}{4}\sqrt {x + 30} } } } .$Lời giải Để $x$ là nghiệm thì $x > 0.$ Đặt $u = \frac{1}{4}\sqrt {30 + \frac{1}{4}\sqrt {x + 30} } .$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {4u = \sqrt {30 + \frac{1}{4}\sqrt {x + 30} } }\\ {4x = \sqrt {30 + \frac{1}{4}\sqrt {u + 30} } } \end{array}} \right.$ $1.$ + Giả sử $x \ge u$, khi đó ta có $4u = \sqrt {30 + \frac{1}{4}\sqrt {x + 30} } $ $ \ge \sqrt {30 + \frac{1}{4}\sqrt {u + 30} } = 4x$ $ \Rightarrow u \ge x.$ Suy ra ta có $x = u$, hay $4x = \sqrt {30 + \frac{1}{4}\sqrt {x + 30} } $ $2.$ Đặt $v = \frac{1}{4}\sqrt {x + 30} .$ Kết hợp với phương trình $2$ ta có hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {4x = \sqrt {30 + v} }\\ {4v = \sqrt {x + 30} } \end{array}} \right.$ $3.$ + Giả sử $x \ge v$, khi đó $4v = \sqrt {x + 30} $ $ \ge \sqrt {v + 30} = 4x$ $ \Rightarrow v \ge x$ $ \Rightarrow x = v.$ Vậy $x = v$ hay $4x = \sqrt {x + 30} $ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \ge 0}\\ {16{x^2} = x + 30} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x = \frac{{1 + \sqrt {1921} }}{{32}}.$ Kết luận Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = \frac{{1 + \sqrt {1921} }}{{32}}.$Ví dụ 18. Giải phương trình $\sqrt x + \sqrt {1 – x} $ $ – 2\sqrt {x1 – x} $ $ – 2\sqrt[4]{{x1 – x}} = – 1.$Lời giải Điều kiện $0 \le x \le 1.$ Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = \sqrt[4]{x}}\\ {v = \sqrt[4]{{1 – x}}} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow {u^4} + {v^4} = 1$ $1.$ Khi đó phương trình đã cho trở thành ${u^2} + {v^2} – 2{u^2}{v^2} – 2uv = – 1$ $2.$ Kết hợp phương trình $1$ và phương trình $2$ ta có hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^4} + {v^4} = 1}\\ {{u^2} + {v^2} – 2uv + 1 – 2{u^2}{v^2} = 0} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^4} + {v^4} = 1}\\ {{u^2} + {v^2} – 2uv + {u^4} + {v^4} – 2{u^2}{v^2} = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^4} + {v^4} = 1}\\ {{{u – v}^2} + {{\left {{u^2} – {v^2}} \right}^2} = 0} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^4} + {v^4} = 1}\\ {u – v = 0}\\ {{u^2} – {v^2} = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = v}\\ {{u^4} = {v^4} = \frac{1}{2}} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \frac{1}{2}}\\ {1 – x = \frac{1}{2}} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}.$ Kết luận phương trình đã cho có một nghiệm là $x = \frac{1}{2}.$Ví dụ 19. Giải phương trình $\sqrt x + \sqrt[4]{{x{{1 – x}^2}}} + \sqrt[4]{{{{1 – x}^3}}}$ $ = \sqrt {1 – x} + \sqrt[4]{{{x^3}}} + \sqrt[4]{{{x^2}1 – x}}.$Lời giải Điều kiện $0 \le x \le 1.$ Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = \sqrt[4]{x}}\\ {v = \sqrt[4]{{1 – x}}} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u \ge 0}\\ {v \ge 0}\\ {{u^4} + {v^4} = 1} \end{array}} \right..$ Khi đó phương trình đã cho trở thành ${u^2} + u{v^2} + {v^3}$ $ = {v^2} + {u^3} + {u^2}v.$ $ \Leftrightarrow {u^2} – {v^2}$ $ – \left {{u^3} – {v^3}} \right$ $ – uvu – v = 0.$ $ \Leftrightarrow u – v\left[ {u + v – \left {{u^2} + uv + {v^2}} \right – uv} \right] = 0.$ $ \Leftrightarrow u – v\left[ {u + v – {{u + v}^2}} \right] = 0.$ $ \Leftrightarrow u – vu + v[1 – u + v] = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {u – v = 0}\\ {u + v = 1} \end{array}} \right.$ do $u$ và $v$ không đồng thời bằng không nên $u + v > 0$. + Với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u – v = 0}\\ {{u^4} + {v^4} = 1} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^4} = \frac{1}{2}}\\ {{v^4} = \frac{1}{2}} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \frac{1}{2}}\\ {1 – x = \frac{1}{2}} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}.$ + Với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 1}\\ {{u^4} + {v^4} = 1} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 1}\\ {{{\left[ {{{u + v}^2} – 2uv} \right]}^2} – 2{u^2}{v^2} = 1} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 1}\\ {1 – 4uv + 4{u^2}{v^2} – 2{u^2}{v^2} = 1} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 1}\\ {uvuv – 2 = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 1}\\ {uv = 0} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 1}\\ {uv = 2} \end{array}{\rm{vô\nghiệm}}} \right.} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 0}\\ {v = 1} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 1}\\ {v = 0} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0}\\ {1 – x = 1} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 1}\\ {1 – x = 0} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0}\\ {x = 1} \end{array}} \right..$ Kết luận phương trình đã cho có ba nghiệm là $x = 0$, $x = \frac{1}{2}$, $x = 1.$Ví dụ 20. Giải phương trình $\frac{{34 – x\sqrt[3]{{x + 1}} – x + 1\sqrt[3]{{34 – x}}}}{{\sqrt[3]{{34 – x}} – \sqrt[3]{{x + 1}}}} = 30.$Lời giải Điều kiện $\sqrt[3]{{34 – x}} \ne \sqrt[3]{{x + 1}}$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{{33}}{2}.$ Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = \sqrt[3]{{x + 1}}}\\ {v = \sqrt[3]{{34 – x}}} \end{array}} \right.$ $u \ne v.$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{{v^3}u – {u^3}v}}{{v – u}} = 30}\\ {{u^3} + {v^3} = 35} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {uvu + v = 30}\\ {{{u + v}^3} – 3uvu + v = 35} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 5}\\ {uv = 6} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 2}\\ {v = 3} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 3}\\ {v = 2} \end{array}} \right.} \end{array}} \right..$ + Khi $u =2$, ta được $\sqrt[3]{{x + 1}} = 2$ $ \Leftrightarrow x + 1 = 8$ $ \Leftrightarrow x = 7.$ + Khi $u =3$, ta được $\sqrt[3]{{x + 1}} = 3$ $ \Leftrightarrow x + 1 = 27$ $ \Leftrightarrow x = 26.$ Kết luận Phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = 7$, $x = 26.$Ví dụ 21. Giải phương trình $\frac{{\sqrt[3]{{7 – x}} – \sqrt[3]{{x – 5}}}}{{\sqrt[3]{{7 – x}} + \sqrt[3]{{x – 5}}}} = 6 – x.$Lời giải Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = \sqrt[3]{{7 – x}}}\\ {v = \sqrt[3]{{x – 5}}} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^3} + {v^3} = 2}\\ {\frac{{{u^3} – {v^3}}}{2} = 6 – x} \end{array}} \right..$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^3} + {v^3} = 2}\\ {\frac{{u – v}}{{u + v}} = \frac{1}{2}\left {{u^3} – {v^3}} \right} \end{array}} \right..$ + Với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^3} + {v^3} = 2}\\ {u – v = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^3} = 1}\\ {{v^3} = 1} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {7 – x = 1}\\ {x – 5 = 1} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x = 6.$ + Với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^3} + {v^3} = 2}\\ {\left {{u^2} + {v^2} + uv} \rightu + v = 2} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left {{u^2} + {v^2} – uv} \rightu + v = 2}\\ {\left {{u^2} + {v^2} + uv} \rightu + v = 2} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {uv = 0}\\ {{u^3} + {v^3} = 2} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 0}\\ {{v^3} = 2} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^3} = 2}\\ {v = 0} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 7}\\ {x = 5} \end{array}} \right..$ Kết luận phương trình đã cho có ba nghiệm là $x = 5$, $x = 6$, $x = 7.$Ví dụ 22. Giải phương trình $\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{x + 1}} = \sqrt[4]{{2x + 1}}.$Lời giải Điều kiện $x \ge 0.$ Phương trình đã cho tương đương $\sqrt[4]{{\frac{x}{{2x + 1}}}} + \sqrt[4]{{\frac{{x + 1}}{{2x + 1}}}} = 1.$ Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = \sqrt[4]{{\frac{x}{{2x + 1}}}}}\\ {v = \sqrt[4]{{\frac{{x + 1}}{{2x + 1}}}}} \end{array}} \right..$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 1}\\ {{u^4} + {v^4} = 1} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 1}\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {uv = 2}\\ {uv = 0} \end{array}} \right.} \end{array}} \right..$ + Với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {uv = 0}\\ {u + v = 1} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 0}\\ {v = 1} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 1}\\ {v = 0} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow x = 0.$ + Với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {uv = 2}\\ {u + v = 1} \end{array}} \right.$ vô nghiệm. Kết luận phương trình đã cho có một nghiệm là $x=0.$ Ví dụ 23. Giải phương trình $\sqrt {{x^2} – x + 1} + \sqrt {{x^2} + x + 1} = 2.$Lời giải Vì $x=0$ không phải là nghiệm của phương trình, nên phương trình đã cho tương đương $\frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} + x + 1} – \sqrt {{x^2} – x + 1} }} = 2$ $ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + x + 1} – \sqrt {{x^2} – x + 1} = x.$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sqrt {{x^2} + x + 1} + \sqrt {{x^2} – x + 1} = 2}\\ {\sqrt {{x^2} + x + 1} – \sqrt {{x^2} – x + 1} = x} \end{array}} \right..$ Suy ra $2\sqrt {{x^2} + x + 1} = x + 2$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \ge – 2}\\ {4{x^2} + 4x + 4 = {x^2} + 4x + 4} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x = 0.$ Kết luận phương trình đã cho có một nghiệm là $x= 0.$ Ví dụ 24. Giải phương trình $4{x^2} – 11x + 10$ $ = x – 1\sqrt {2{x^2} – 6x + 2} .$Lời giải Điều kiện $2{x^2} – 6x + 2 \ge 0.$ Phương trình đã cho tương đương ${2x – 3^2} + x + 1$ $ = x – 1\sqrt {x – 12x – 3 – x – 1} .$ Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 2x – 3}\\ {v = \sqrt {x – 12x – 3 – x – 1} } \end{array}} \right..$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^2} + x + 1 = x – 1v}\\ {{v^2} + x + 1 = x – 1u} \end{array}} \right..$ Lấy phương trình trên trừ phương trình dưới ta được phương trình ${u^2} – {v^2} = x – 1v – u$ $ \Leftrightarrow u – vu + v + x – 1 = 0.$ + Với $u = v$ $ \Rightarrow {u^2} + x + 1 = x – 1u.$ $ \Leftrightarrow {2x – 3^2} + x + 1$ $ = x – 12x – 3$ $ \Leftrightarrow 2{x^2} – 6x + 7 = 0$ vô nghiệm. + Với $u + v + x – 1 = 0$ $ \Rightarrow 2x – 3$ $ + \sqrt {2{x^2} – 6x + 2} $ $ + x – 1 = 0.$ $ \Leftrightarrow \sqrt {2{x^2} – 6x + 2} = 4 – 3x$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \le \frac{4}{3}}\\ {7{x^2} – 18x + 14 = 0} \end{array}} \right.$ vô nghiệm. Kết luận phương trình đã cho vô dụ 25. Giải phương trình ${x^3} – 5{x^2} + 4x – 5$ $ = 1 – 2x\sqrt[3]{{6{x^2} – 2x + 7}}.$Lời giải Phương trình đã cho tương đương ${x + 1^3} – 8{x^2} + x – 6$ $ = 1 – 2x\sqrt[3]{{1 – 2xx + 1 + 8{x^2} – x + 6}}.$ Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = x + 1}\\ {v = \sqrt[3]{{1 – 2xx + 1 + 8{x^2} – x + 6}}} \end{array}} \right..$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^3} – \left {8{x^2} – x + 6} \right = 1 – 2xv}\\ {{v^3} – \left {8{x^2} – x + 6} \right = 1 – 2xu} \end{array}} \right..$ Lấy phương trình trên trừ phương trình dưới ta được phương trình $u – v\left {{u^2} + uv + {v^2} + 1 – 2x} \right = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = v}\\ {{u^2} + uv + {v^2} + 1 – 2x = 0\\1} \end{array}} \right..$ + Với $u = v$, ta được $\sqrt[3]{{6{x^2} – 2x + 7}} = x + 1$ $ \Leftrightarrow x = 2.$ + Ta có ${u^2} + uv + {v^2} + 1 – 2x$ $ = {\left {\frac{u}{2} + v} \right^2}$ $ + \frac{{3{u^2} – 8x + 4}}{4}$ $ \ge \frac{{3{u^2} – 8x + 4}}{4}$ $ = \frac{{3{{x + 1}^2} – 8x + 4}}{4}$ $ = \frac{{3{x^2} – 2x + 7}}{4} > 0.$ Nên phương trình $1$ vô nghiệm. Kết luận phương trình đã cho có một nghiệm $x = 2.$Ví dụ 26. Giải phương trình ${x^3} + 1 = 3\sqrt[3]{{3x – 1}}.$Lời giải Đặt $u = \sqrt[3]{{3x – 1}}$ $ \Rightarrow {u^3} + 1 = 3x.$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^3} + 1 = 3u}\\ {{u^3} + 1 = 3x} \end{array}} \right..$ Lấy phương trình trên trừ phương trình dưới ta được phương trình $x – u\left {{x^2} + xu + {u^2} + 3} \right = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = u}\\ {{x^2} + xu + {u^2} + 3 = 0\\{\rm{vô\nghiệm}}} \end{array}} \right..$ Với $x = u$, ta được phương trình ${x^3} – 3x + 1 = 0$ $1.$ Xét $x \in [ – 2;2].$ Đặt $x = 2\cos t$, $x \in [0;\pi ].$ Phương trình $1$ trở thành $8{\cos ^3}t – 6\cos t = – 1.$ $ \Leftrightarrow \cos 3t = – \frac{1}{2}$ $ \Leftrightarrow t = \pm \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3}.$ Do $x \in [0;\pi ]$ $ \Rightarrow t = \frac{{2\pi }}{9}$, $t = \frac{{4\pi }}{9}$, $t = \frac{{8\pi }}{9}.$ Suy ra $x = 2\cos \frac{{2\pi }}{9}$, $x = 2\cos \frac{{4\pi }}{9}$, $x = 2\cos \frac{{8\pi }}{9}.$ Vì phương trình bậc ba có tối đa ba nghiệm nên phương trình trên có ba nghiệm $x = 2\cos \frac{{2\pi }}{9}$, $x = 2\cos \frac{{4\pi }}{9}$, $x = 2\cos \frac{{8\pi }}{9}$ và không còn nghiệm nào khác nằm ngoài đoạn $x \in [ – 2;2].$C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1. ĐỀ BÀI 1. Giải phương trình $2{x^3} = 1 + \sqrt[3]{{\frac{{x + 1}}{2}}}.$2. Giải phương trình ${x^3} – 3\sqrt[3]{{3x + 2}} = 2.$3. Giải phương trình $2\sqrt[3]{{3x – 2}} + 3\sqrt {6 – 5x} – 8 = 0.$4. Giải phương trình $3 + \sqrt {3 + \sqrt x } = x.$5. Giải phương trình $2x = \sqrt[3]{{7 + \sqrt[3]{{\frac{{x + 7}}{8}}}}}.$6. Giải phương trình $x = 2007 + \sqrt {2007 + \sqrt x } .$7. Giải phương trình $2x = \sqrt {1 + \frac{3}{2}\sqrt {1 + 3x} } .$8. Giải phương trình $2x = \sqrt {3 + \frac{1}{2}\sqrt {3 + \frac{1}{2}\sqrt {3 + \frac{1}{2}\sqrt {x + 3} } } } .$9. Giải phương trình ${x^2} – 4x – 3 = \sqrt {x + 5} .$10. Giải phương trình ${x^2} – 2x – 3 = \sqrt {x + 3} .$11. Giải phương trình $3{x^2} + 6x – 3 = \sqrt {\frac{{x + 7}}{3}} .$12. Giải phương trình $7{x^2} + 7x = \sqrt {\frac{{4x + 9}}{{28}}} .$13. Giải phương trình $\sqrt {2x + 15} = 32{x^2} + 32x – 20.$14. Giải phương trình $\sqrt[3]{{3x – 5}} = 8{x^3} – 36{x^2} + 53x – 25.$15. Giải phương trình $\sqrt[3]{{81x – 8}} = {x^3} – 2{x^2} + \frac{4}{3}x – 2.$16. Giải phương trình $\sqrt {2{x^2} + 1} – \sqrt {{x^2} + 1} = {x^2}.$17. Giải phương trình $\sqrt {x + 3} + \sqrt[3]{x} = 3.$18. Giải phương trình $x + 3\sqrt { – {x^2} – 8x + 48} = x – 24.$19. Giải phương trình $\sqrt {2 – {x^2}} = {2 – \sqrt x ^2}.$20. Giải phương trình $\sqrt {1 + \sqrt {1 – {x^2}} } \left[ {\sqrt {{{1 – x}^3}} – \sqrt {{{1 + x}^3}} } \right]$ $ = 2 + \sqrt {1 – {x^2}} .$21. Giải phương trình $\sqrt {x + 3} – \sqrt {1 – x} = x + 1.$22. Giải phương trình $\sqrt {{x^2} + x + 1} $ $ = 2x + \sqrt {{x^2} – x + 1} .$23. Giải phương trình $\sqrt {2{x^2} + x + 9} $ $ + \sqrt {2{x^2} – x + 1} $ $ = x + 4.$24. Giải phương trình $\sqrt {{x^2} – 9x + 24} $ $ – \sqrt {6{x^2} – 59x + 149} $ $ = 5 – x.$25. Giải phương trình $\sqrt {2{x^2} + x + 1} + \sqrt {{x^2} – x + 1} = 3x.$26. Giải phương trình $\sqrt[3]{{{{x + 1}^2}}} + \sqrt[3]{{{x^2}}}$ $ + \sqrt[3]{{xx + 1}} = 1.$27. Giải phương trình $x + 5\sqrt {x + 1} + 1 = \sqrt[3]{{3x + 4}}.$28. Giải phương trình $8{x^2} – 13x + 7$ $ = \left {1 + \frac{1}{x}} \right\sqrt[3]{{3{x^2} – 2}}.$29. Giải phương trình $2x + 1 + x\sqrt {{x^2} + 2} $ $ + x + 1\sqrt {{x^2} + 2x + 3} = 0.$30. Giải phương trình ${x^2} – 2x – 4$ $ = \left {\frac{1}{x} – 2} \right\sqrt[3]{{3{x^2} + 6x + 2}}.$31. Giải phương trình $\sqrt {2 – \sqrt 2 1 + x} + \sqrt[4]{{2x}} = 1.$32. Giải phương trình ${x^2}\sqrt x + {x – 5^2}\sqrt {5 – x} $ $ = 11\sqrt x + \sqrt {5 – x} .$2. ĐÁP SỐ 1. $x = 1.$2. $x = – 1$, $x = 2.$3. $x = – 2.$4. $x = \frac{{7 + \sqrt {13} }}{2}.$5. $x = 1.$6. $x = \frac{{8030 + 2\sqrt {8029} }}{4}.$7. $x = 1.$8. $x = 1.$9. $x = – 1$, $x = \frac{{5 + \sqrt {29} }}{2}.$10. $x = \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2}$, $x = \frac{{1 – \sqrt {13} }}{2}.$11. $x = \frac{{\sqrt {73} – 5}}{6}$, $x = \frac{{ – \sqrt {69} – 7}}{6}.$12. $\frac{{ – 6 + 5\sqrt 2 }}{{14}}$, $\frac{{ – 8 – \sqrt {46} }}{{14}}.$13. $x = \frac{1}{2}$, $x = \frac{{ – 9 – \sqrt {221} }}{{16}}.$14. $x = 2$, $x = \frac{{5 \pm \sqrt 3 }}{4}.$15. $x = 0$, $x = \frac{{3 \pm 2\sqrt 6 }}{3}.$16. $x = 0.$17. $x = 1.$18. $x = – 2 – 2\sqrt 7 $, $x = – 5 – \sqrt {31} .$19. $x = 1.$20. $x = – \frac{{\sqrt 2 }}{2}.$21. $x = \pm 1$, $x = – 3.$22. $x = 0.$23. $x = 0$, $x = \frac{8}{7}.$24. $x = 5$, $x = \frac{{19}}{3}.$25. $x = 1$, $x = – \frac{8}{7}.$26. $x = – 1$, $x = 0.$27. $x = – 1.$28. $x = 1$, $x = – \frac{1}{8}.$29. $x = – \frac{1}{2}.$30. $x = 2\cos \frac{\pi }{9}$, $x = 2\cos \frac{{5\pi }}{9}$, $x = 2\cos \frac{{7\pi }}{9}.$31. $x = {\left {\frac{{1 \pm \sqrt {\frac{{4 – 3\sqrt[4]{2}}}{{\sqrt[4]{2}}}} }}{2}} \right^4}.$32. $x = 1$, $x = 4.$ Giải hệ phương trình chứa ẩn ở mẫu thức lớp 9 là một trong những dạng bài tập không khó, để giải các dạng bài tập này các em cần nắm vững các phương pháp biến đổi tương đương hệ phương cụ thể, cách giải hệ phương trình chứa ẩn ở mẫu thức lớp 9 như thế nào? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết này và vận dụng giải các bài tập minh hoạ để hiểu rõ hơn nhé. I. Cách giải hệ phương trình chứa ẩn ở mẫu thức * Phương pháp giải Để giải hệ phương trình ẩn ở mẫu thức chúng ta có thể sử dụng phương pháp biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ,... * Chú ý Các điều kiện để mẫu thức có nghĩa và đối chiếu điều kiện trước khi kết luận nghiệm của hệ phương trình. II. Bài tập giải hệ phương trình chứa ẩn ở mẫu thức * Bài tập 1 Giải hệ phương trình * Lời giải - Điều kiện y ≠ 0 - Xét pt 1 của hệ, ta rút ra được 3 Thay vào pt 2 của hệ, ta được thoả điều kiện Thay y = 6 vào 3, ta được Vậy hệ có nghiệm x; y = 4; 6. * Bài tập 2 Giải hệ phương trình * Lời giải - Điều kiện Đặt Khi đó hệ có dạng Có thoả Có thoả Vậy hệ có nghiệm x; y = 4; 1 * Bài tập 3 Giải hệ phương trình * Lời giải - Điều kiện x ≠ 0; y ≠ 0; Đặt khi đó hệ phương trình trở thành thoả điều kiện Vậy hệ có nghiệm x; y = 7/9; 7/2 * Bài tập 4 Giải hệ phương trình * Lời giải - Điều kiện Đặt khi đó hệ trở thành Từ thoả đk Từ thoả đk Vậy hệ có nghiệm x; y = 19/7; 8/3Hy vọng với bài viết Cách giải hệ phương trình chứa ẩn ở mẫu thức và bài tập vận dụng lớp 9 ở trên của Hay Học Hỏi giúp ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt. maquyvodoi 2 cái này cũng tương tự như giải 3 ẩn thui mà bạn dùng phương pháp cộng đại số với từng ẩn, sau đó rút dần ta sẽ có cái cuối cùng là pt 1 ẩn, giải ẩn đó ra là song. ________________ chúc bạn học tốt thienluan14211 3 Làm sao để triệt tiêu bớt vài ẩn bằng phương pháp cộng, đưa về hệ phương trình 3 ẩn rồi dùng máy tính giải sau đó thế nghiệm tìm được để tìm các ẩn còn lại Thường thì một bài toán tìm n ẩn có n phương trình thì đa phần giải được Phương trình bậc nhất một ẩn là một trong những dạng toán cơ bản, giúp cho người học toán có một tư duy tốt sau này. Hôm nay Kiến xin gửi đến các bạn về một số bài tập về phương trình bậc nhất một ẩn . Bài gồm 2 phần phần Đề và hướng dẫn giải . Các bài tập đa số là cơ bản để các bạn có thể làm quen với phương trình hơn. Các bạn cùng tham khảo với Kiến nhé I. Bài tập phương trình bậc nhất một ẩn Đề Bài 1 phương trình 2x - 1 = 3 có nghiệm duy nhất là ? A. x = - 2. = x = 1. = - 1. Bài 2Nghiệm của phương trình + 3 = 4 là? A. y = 2. = - y = 1. = - 1. Bài 3Giá trị của m để phương trình 2x = m + 1 có nghiệm x = - 1 là ? A. m = = m = - 3 = 2. Bài 4Tập nghiệm của phương trình - 4x + 7 = - 1 là? A. S = { 2 }. = { - 2 }.C. S = { }. = { 3 }. Bài 5x = là nghiệm của phương trình nào dưới đây? 3x - 2 = 1. 2x - 1 = 0. 4x + 3 = - 1. 3x + 2 = - 1. Bài 6Giải phương trình A. x = 2 B. x = 1C. x = -2 D. x = -1 Bài 7Tìm số nghiệm của phương trình sau x + 2 - 2x + 1 = -x A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số Bài 8Tìm tập nghiệm của phương trình sau 2x + 3 - 5 = 4 x A. S = {1} B. S = 1C. S = {2} D. S = 2 Bài 9Phương trình sau có 1 nghiệm là phân số tối giản. Tính a + b Bài 10Phương trình nào là phương trình bậc nhất một ẩn số x ? 2x + y 1 = 0 x 3 = -x + 2 3x 22= 4 x y2+ 1 = 0 Bài 11Phương trình nào dưới đây không là phương trình bậc nhất? 2x 3 = 2x + 1 -x + 3 = 0 5 x = -4 x2+ x = 2 + x2 II. Bài tập phương trình bậc nhất một ẩn Hướng dẫn giải Câu 1 Hướng dẫn giải Ta có 2x - 1 = 3 2x = 1 + 3 2x = 4 x = x = 2. Vậy nghiệm là x = 2. Chọn đáp án B. Câu 2 Hướng dẫn giải Ta có + 3 = 4 = 4 - 3 = 1 y = 2. Vậy nghiệm của phương trình của y là 2. Chọn đáp án A. Câu 3 Hướng dẫn giải Phương trình 2x = m + 1 có nghiệm x = - 1 Khi đó ta có 2. - 1 = m + 1 m + 1 = - 2 m = - 3. Vậy m = - 3 là đáp án cần phải tìm. Chọn đáp án C. Câu 4 Hướng dẫn giải Ta có - 4x + 7 = - 1 - 4x = - 1 - 7 - 4x = - 8 x = x = 2. Vậy S = { 2 }. Chọn đáp án A. Câu 5 Hướng dẫn giải + Đáp án A 3x - 2 = 1 3x -3= 0 x = 1 Loại. + Đáp án B 2x - 1 = 0 2x -1= 0 x = Chọn. + Đáp án C 4x + 3 = - 1 4x = - 4 x = - 1 Loại. + Đáp án D 3x + 2 = - 1 3x = - 3 x = - 1 Loại. Chọn đáp án B. Câu 6 Chọn đáp án A Câu 7 Hướng dẫn giải Ta có x + 2 - 2x + 1 = -x x + 2 - 2x - 2 = -x -x = -x luôn đúng Vậy phương trình sẽ có vô số nghiệm. Chọn đáp án D Câu 8 Câu 9 Câu 10 Hướng dẫn giải Đáp án Achắc chắn không phải phương trình bậc nhất một ẩn vì nó có hai biến x, y. Đáp án B là phương trình bậc nhất vì x 3 = -x + 2 2x 5 = 0 có a = 2 0. Đáp án C chắc chắn không phải phương trình bậc nhất vì bậc của x là mũ 2. Đáp án D chắc chắn không phải phương trình bậc nhất một ẩn vì có hai biến x và biến y. Đáp án cần chọn là B Câu 11 Hướng dẫn giải Đáp án A 2x 3 = 2x + 1 2x 2x 3 1 = 0 0x 4 = 0 có a = 0 sẽ không là phương trình bậc nhất 1 ẩn Đáp án B -x + 3 = 0 có a = -1 0 nên là phương trình bậc nhất. Đáp án C 5 x = -4 -x + 9 = 0 có a = -1 0 nên là phương trình bậc nhất. Đáp án D x2+ x = 2 + x2 x2+ x - 2 - x2= 0 x 2 = 0 có a = 1 0 nên là phương trình bậc nhất. Phương trình gồm nhiều phương trình khác nhau. Phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình bậc nhất hai ẩn, phương trình bậc hai. Kiến đã soạn một số bài tập về phương trình bậc nhất một ẩn, nhằm giúp các bạn cũng cố lại lý thuyết, nhận biết về phương trình bậc nhất. Các bạn hãy đọc thật kỹ để có thêm kiến thức sau này vận dụng vào bài thi và kiểm tra nhé. Chúc các bạn thành công trên con đường học tập Tài liệu gồm 69 trang phân dạng và tuyển tập các bài tập hệ phương trình nhiều ẩn do thầy Trần Sĩ Tùng biên dung tài liệu I. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN 1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 2. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN 1. Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia. Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn. Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này. 2. Hệ đối xứng loại 1 Đặt S = x + y, P = xy. Đưa hệ phương trình I về hệ II với các ẩn là S và P. Giải hệ II ta tìm được S và P. Tìm nghiệm x, y bằng cách giải phương trình X^2 – SX + P = 0. 3. Hệ đối xứng loại 2 Trừ vế theo vế và đưa về phương trình tích. 4. Hệ đẳng cấp bậc hai Giải hệ khi x = 0 hoặc y = 0. Khi x ≠ 0, đặt y = kx. Thế vào hệ I ta được hệ theo k và x. Khử x ta tìm được phương trình bậc hai theo k. Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được x; y. [ads] III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC Vấn đề 1 Phương pháp thế Từ phương trình đơn giản nhất của hệ hoặc từ phương trình tích tìm cách rút một ẩn theo ẩn kia, rồi thế vào phương trình còn lại. Giải phương trình này. Số nghiệm của hệ tuỳ thuộc số nghiệm của phương trình này. Một số dạng thường gặp + Dạng 1 Trong hệ có một phương trình bậc nhất với ẩn x hoặc y. + Dạng 2 Trong hệ có một phương trình có thể đưa về dạng tích của các biểu thức bậc nhất hai ẩn. + Dạng 3 Trong hệ có một phương trình có thể đưa về dạng phương trình bậc hai của một ẩn với ẩn còn lại là tham số. Chú ý Đôi khi có thể ta phải kết hợp biến đổi cả 2 phương trình của hệ để đưa về một trong các dạng trên. Vấn đề 2 Phương pháp đặt ẩn phụ Biến đổi các phương trình của hệ để có thể đặt ẩn phụ, rồi chuyển về hệ cơ bản. Vấn đề 3 Phương pháp đánh giá Từ điều kiện của ẩn, xét trường hợp xảy ra dấu “=” ở bất đẳng thức. Vấn đề 4 Phương pháp hàm số Chọn hàm số thích hợp, rồi sử dụng tính đơn điệu của hàm số. Vấn đề 5 Hệ phương trình hoán vị vòng quanh Vấn đề 6 Hệ phương trình giải được bằng phương pháp lượng giác hoá Vấn đề 7 Hệ phương trình chứa tham số Vấn đề 8 Giải phương trình bằng cách đưa về hệ phương trình Phương Trình - Hệ Phương Trình - Bất Phương TrìnhGhi chú Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên bằng cách gửi về Facebook TOÁN MATH Email [email protected]

cách giải hệ phương trình 5 ẩn